Trigonometria – Definição

Trigonometria é o ramo da Matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos, especialmente do triângulo retângulo.

A palavra vem do grego:

• trígono = triângulo

• metron = medida

Ou seja, significa “medida dos triângulos”.

📐 Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras afirma que:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Esse teorema é atribuído ao matemático grego Pitágoras.

🔺 Fórmula

Se:

• h = hipotenusa

• a e b = catetos

Então:

$$h^2 = a^2 + b^2$$

🔺 Trigonometria no Triângulo Retângulo

No triângulo retângulo temos:

• Hipotenusa (h) → lado oposto ao ângulo de 90° (maior lado)

• Cateto oposto (co) → lado em frente ao ângulo analisado

• Cateto adjacente (ca) → lado ao lado do ângulo analisado

📊 Razões Trigonométricas Fundamentais

Para um ângulo agudo θ:

✔ Seno (sen)

$$sin( heta) = rac{cateto oposto}{hipotenusa}$$sin(θ)=hipotenusa cateto oposto​

✔ Cosseno (cos)

$$cos( heta) = rac{cateto adjacente}{hipotenusa}$$cos(θ)=hipotenusa cateto adjacente​

✔ Tangente (tg)

$$an( heta) = rac{cateto oposto}{cateto adjacente}$$tan(θ)=cateto adjacente cateto oposto​

📌 Relação Fundamental

$$sin^2( heta) + cos^2( heta) = 1$$sin2(θ)+cos2(θ)=1

🔵 Trigonometria no Círculo (Ciclo Trigonométrico)

Quando ampliamos o estudo para ângulos maiores que 90°, usamos o círculo trigonométrico, onde:

• O cosseno representa a coordenada x

• O seno representa a coordenada y

Isso permite trabalhar com:

• Ângulos negativos

• Ângulos maiores que 360°

• Funções trigonométricas

📈 Aplicações da Trigonometria

A trigonometria é usada em:

• Engenharia

• Arquitetura

• Física

• Navegação

• Astronomia

• Construção civil

🎯 Resumo Rápido

Trigonometria estuda:

✔ Relação entre ângulos e lados
✔ Seno, cosseno e tangente
✔ Triângulo retângulo
✔ Ciclo trigonométrico
✔ Funções periódicas

Resumo dos Valores Notáveis

🔹 1) Uma escada de 8 m está apoiada formando 30° com o chão. Qual a altura alcançada?

$$sin 30°=rac{h}{8}$$​ $$rac{1}{2}=rac{h}{8}$$​ $$h=4 ext{ m}$$

🔹 2) Um poste projeta sombra de 6 m. O ângulo com o solo é 45°. Qual a altura?

$$an 45°=rac{h}{6}$$​ $$1=rac{h}{6}$$​ $$h=6 ext{ m}$$

🔹 3) Num triângulo retângulo, co = 9 e ca = 12. Calcule:

a) Hipotenusa

$$h^2=9^2+12^2$$
$$h^2=81+144=225$$
$$h=15$$

b) Seno

$$sin=rac{9}{15}=0,6$$

🔹 4) Se $cos( heta)=0,8$cos(θ)=0,8 e h = 10, determine o cateto adjacente.

$$0,8=\frac{ca}{\mathrm{10<span\; style="font-family:\; arial,\; helvetica,\; sans-serif;\; font-size:\; 12pt;"></span>}}$$$$ca=8$$

🔹 5) Um avião sobe formando 60° com o solo. Após percorrer 200 m, qual a altura?

$$sin 60°=rac{h}{200}$$​ $$rac{sqrt{3}}{2}=rac{h}{200}$$​​​ $$h=100sqrt{3}$$​ $$h approx 173,2 ext{ m}$$

🔹 6) Um prédio é observado sob ângulo de 30°. A distância até ele é 50 m. Altura?

$$an 30°=rac{h}{50}$$​ $$rac{sqrt{3}}{3}=rac{h}{50}$$​​​ $$h=rac{50sqrt{3}}{3}$$​​ $$h\approx 28,9\text{ m}$$

🔹 7) Resolva a identidade:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\mathrm{\theta <span\; style="font-family:\; arial,\; helvetica,\; sans-serif;\; font-size:\; 12pt;\; text-transform:\; none;">:</span>}$$

$$=1$$

🔹 8) Se $an( heta)=2$tan(θ)=2 e ca = 5, determine o cateto oposto.

$$2=rac{co}{5}$$​ $$co=10$$

🔵 Agora com Lei dos Senos

🔹 9) Num triângulo qualquer, um lado mede 10 e o ângulo oposto mede 30°. Outro ângulo mede 45°. Calcule o lado oposto a 45°.

$$rac{10}{sin 30°}=rac{x}{sin 45°}$$​ $$rac{10}{1/2}=rac{x}{sqrt{2}/2}$$​ $$20=rac{x}{sqrt{2}/2}$$​​ $$x=10sqrt{2}$$​

🔵 Lei dos Cossenos

🔹 10) Dois lados medem 5 e 7, formando ângulo de 60°. Calcule o terceiro lado.

$$c^2=5^2+7^2-2·5·7·cos 60°$$
$$c^2=25+49-70·rac{1}{2}$$​ $$c^2=74-35$$
$$c^2=39$$
$$c=sqrt{39}$$​

🔹 11) co = 15 e h = 17. Calcule o cosseno.

Primeiro ache o cateto adjacente:

$$ca^2=17^2-15^2$$
$$ca^2=289-225=64$$
$$ca=8$$
$$cos=rac{8}{17}$$​

🔹 12) Um morro tem inclinação de 20°. Se a estrada mede 300 m, qual a altura?

$$sin 20°=rac{h}{300}$$​ $$h=300sin 20°$$
$$happrox 102,6 ext{ m}$$

🔹 13) Determine a tangente se co = 18 e ca = 6.

$$an=rac{18}{6}=3$$​​

🔹 14) Um triângulo retângulo tem h = 25 e co = 7. Calcule o cosseno.

$$ca^2=25^2-7^2$$
$$ca^2=625-49=576$$
$$ca=24$$
$$cos=rac{24}{25}$$​

🔹 15) Determine o valor de:

$$sin 60° cdot cos 30°$$
$$=rac{sqrt{3}}{2}·rac{sqrt{3}}{2}$$​​​​ $$=rac{3}{4}$$​

🔹 16) Um avião observa um ponto no solo sob ângulo de 45°. A altura é 1000 m. Qual a distância horizontal?

$$an 45°=rac{1000}{x}$$
$$1=rac{1000}{x}$$​ $$x=1000 ext{ m}$$